Теория
Для начала немного теории. Как известно все в подобных анализаторах используется быстрое преобразование Фурье и часто говорится, что ДПФ в подобных конструкция использовать нельзя, только БПФ да и то в на ассемблере. Я же использовал вместо этого дискретное преобразование Фурье(ДПФ) и преобразование по Уолшу. И в этой статье докажу, что можно использовать даже не только БПФ, а ДПФ написанный на С. Но сначала по порядку как из ДПФ получить простую функцию ДПФ и по Уолшу. ДПФ классически выглядит следующим образом:
Так как у мк мало ресурсов, то заменяют cos и sin на массивы размерностью N. Кроме того мк 8 разрядный и целесообразнее массивы хранить в виде 8 разрядных значений. Так как cos и sin меняется от -1 до 1, то лучше всего это диапазон увеличить в 127 раз, так как переменная 8 разрядная знаковая может хранить в себе значения от -127 до 127. Таким образом с учетом преобразований формулы будет:
где m меняется от 0 до N-1 с шагом равный k, когда m становится больше N, m уменьшают на N-1. Всего испльзуется 12 каналов, так что мк по силу ДПФ на такое маленькое количество каналов.
Например имеем 512 отсчетов АЦП нужно посчитать мнимую и действительную части для 150Гц при частоте дискретизации 19200 Гц:
Таким образом реальная и мнимая части получаются гораздо быстрее нежели традиционным способом, но в 127 раз больше. Для того, чтобы получить их реальный значения нужно поделить на 127, но у мк нет деления, поэму гораздо рациональнее будет не делить, а сдвинуть! Один сдвиг эквивалентен делению на 2. То есть если сдвинуть7 раз число то по сути поделили на 128! Так как потери в точности уже были неизбежны, то деление на 128 картины не изменит.
Дискретное преоразование Фурье для 150 Гц при частоте дискретизации 19200 Гц тогда выглядит следующим образом:
Для Уолша заменяем синусоиду и косинусоиду на меанды соответствующих периодов. То есть для sin от 0 до 180 градусов будет 1 а от >180 до 360 будет -1. Соответственно для синуса от 0 до 90 это 1, от 90 до 270 это -1 и от 270 до 360 это 1. Тем самым все вычисление мнимой и действительной части будут простым накапливанием сумм и разностей значения АЦП. То есть когда например синус равен 1, то значение АЦП прибавляется, а когда -1 отнимается. Недостаток такого решения заключается опять же в погрешности, которая неизбежно увеличивается и достигает 20%. Но так как в моей конструкции всего 8 значений то опять же существенно разницы мало кто заметит.
Пример реализации расчета мнимой и действительной части для 150 Гц при частоте дискретизации 19200 и 512 отсчетов:
Таким образом получаем довольно быстро мнимые и действительные части без процедур умножения.
И так получив мнимую и действительную части необходимо найти амплитуду спектра. Для этого необходимо найти корень из сумм квадратов мнимой и действительной части. Но если воспользоваться функцией из библиотеки math извлечение получится долгим и функция к тому же съест не хилый кусок от ПЗУ. Немного покопавшись в интернете я нашел элегантную функцию которую потом еще немного упростил в силу того, что она оперирует маленькими значениями. Вот это функция:
Сравнив эту функцию и функцию из библиотеки math пришел к выводу, что ее точности вполне хватает, чтобы результат был одинаков. Сама функция весит 2% против 12% от ПЗУ мк. Кроме того вычисляет гораздо быстрее.
Но как же получилось, что мк успевает расчитать 12 каналов да еще и в ДПФ. Кроме всех ухищрений со сдвигом вместо деления и быстрой функции квадрата есть еще одна уловка. Про которую я сейчас раскажу. Дело в том, что чем выше частота выделения тем уже полоса пропускания фильтра, так как переход cos и sin убыстряется и число периодов растет. А чем больше таких проходов cos и sin тем уже полоса пропускания. Например для частоты 150 Гц cos и sin повторяются 4 раза, а для 1,2 кГц cos и sin повторяются уже 32 раза. Отсюда видно, что для того чтобы на всех диапазонах полоса пропускания была равномерной и охватывал всех диапазон частот число отсчетов с ростом частоты фильтрации надо уменьшать. Например для 150 Гц бурутся все 512 отсчетов, для 600 Гц 256 отсчетов, а для 2,4 кГц 32 отсчета и так далее. Не трудно заменитить, что уменьшая число отсчетов с ростом частоты круто увеливается скорость ДПФ, так как умножений и сумм уже нужно делать гораздо меньше.
Практическая реализация
И так теоретическая часть подготовлена можно приступать к описанию конструкции. Вся конструкция состоит из одного микроконтроллера, 4-х транзисторов, нескольких конденсаторов и много резисторов. Резисторов лучше поставить много, хотя можно ограничиться только резисторами по горизонтали, т.е. по одному на каждый вывод порта. Схема классическая кроме единственного, что я использовал по 3 порта за 1 проход динамической развертки вместо 1 как везде делают. Это позволило уменьшить частоту развертки и уменьшить число транзистров до 4. Получилась фактически шкала на 24х4.
Анализатор спектра работает на частоте дискретизации 19,2 кГц от кварца на 16 МГц.
Анализатор спектра рассчитывает спектральные амплитуды следующих частот:
9,6 кГц, 4,8 кГц, 2,4 кГц,1,6 кГц, 1,2 кГц, 800 Гц, 600 Гц, 500 Гц, 400 Гц, 300 Гц, 150 Гц, 75 Гц. Программа проверялась и для 33 Гц и ДПФ успевал при тома что размерность cos и sin становится равный 512, но решил ограничится 75 Гц.
Здесь имеются частоты которые не кратны 2 в n-й степени, но тем не менее вычисляются. Например 400 Гц при делении на 19200 получаем 48 которое не кратно 2 в степени n. Выход из положение я выбрал взяв близкое число к числу 2 в степени n. Наиболее близкое это 240 оно близко к 256. То есть из 512 мы взяли только 240 отсчетов. Кроме того нельзя просто взять просто близкое. Например мы могли взять и 480 которое близко к 512, но тем не менее взяли близкое к 256. Объяснение этому в том, что на разных частотах число отсчетов влияет на полосу пропускания. Чем больше число отсчетов тем уже полоса пропускания. Связано это с тем что на высокой частоте косинус проходит гораздо быстрее период нежели на низкой и амплитуда вычисляется на столько точно, что соседние частоты просто выбрасываются и между частотами образуются слепые зоны частот которые анализатором не воспринимаются. Для того, чтобы анализатор воспринимал все частоты и охватывал весь спектр необходимо на высоких частотах расширить полосу взяв меньше отсчетов, а на низких как можно больше сузить взяв отсчетов соответственно больше. Таким образом на путем практического подбора числа отсчетов я подобрал такие:
9,6 кГц 16 отсчетов, 4,8 кГц 32 отсчета, 2,4 кГц 32 отсчета, 1,6 кГц 60 отсчетов, 1,2 кГц 64 отсчета, 800 Гц 240 отсчетов, 600 Гц 256 отсчетов, 500 Гц 252 отсчета, 400 Гц 240 отсчетов, 300 Гц 512 отсчетов, 150 Гц 512 отсчетов, 75 Гц 512 отсчетов.
Таким выбором числа отсчетов удалось полосу равномерной по всему диапазону частот.
Еще один подводный камень получился на частоте 9,6 кГц. Так как мнимой части нет(это легко проверить подставив в формулу выше при 512 отсчетах 256 номер спектра и синус будет всегда равен 0), то реальная часть может достаточно сильно изменяться за счет того, что значение косинуса будет вычисляться через раз в противофазе к основному сигналу. То есть будет вычисляться раз. Для того, чтобы этого не было необходимо вычислить хотя бы 2 значения реальной части сдвинутой на 90 градусов и выбрать максимальный из двух значений.
Алгоритм программы накопление 512 отсчетов в промежутке перевод мк в режим сна и пробуждение когда очередной отсчет готов. Кроме того 150 Гц происходит развертка светодиодов - это раз в 128 от частоты дискретизации в 19200. То есть до того как ацп снимет все отсчеты он успеет полностью провести одну полную развертку. Как только все отсчеты готовы в основном цикле программы происходит вычисление всех амплитуд спектра. В это время развертка продолжается, но мк не впадает в сон, а считает амплитуды. Как только амплитуды посчитаны мк переводится в сон и программа повторяется заново. Амплитуды рассчитываются исходя из 20 дб диапазона, то есть прологарифмированы.
Исходя из времени на получение всех отсчетов и время на расчет всех амплитуд частота обновления находится в районе 10-15 Гц.
Введение
Книги и публикации по цифровой обработке сигналов пишут авторы зачастую не догадывающиеся и не понимающие задач, стоящих перед разработчиками. Особенно это касается систем, работающих в реальном времени. Эти авторы отводят себе скромную роль бога, существующего вне времени и пространства, что вызывает некоторое недоумение у читателей подобной литературы. Данная публикация имеет целью развеять недоумения, возникающие у большинства разработчиков, и помочь им преодолеть «порог вхождения», для этих целей в тексте сознательно используется аналогии и терминология сферы программирования.
Данный опус не претендует на полноту и связность изложения.
Добавлено после прочтения комментариев.
Публикаций о том как делать БПФ немеряно, а о том как сделать БПФ, преобразовать спектр, и собрать сигнал заново, да еще и в реальном времени, явно не хватает. Автор пытается восполнить этот пробел.
Часть первая, обзорная
Существуют два основных способа построения дискретных линейных динамических систем. В литературе, такие системы принято называть цифровыми фильтрами, которые подразделяются на два основных типа: фильтры с конечной импульсной характеристикой (КИХ) и фильтры с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ).
Алгоритмическая сущность фильтра с КИХ заключается в дискретном вычислении интеграла свертки:
Где x(t) – входной сигнал
y(t) – выходной сигнал
h(t) – импульсная характеристика фильтра или реакция фильтра на дельта функцию. Импульсная характеристика является обратным преобразованием Фурье комплексной частотной характеристики фильтра K(f).
Для формирования ясной картины у читателя, приведем пример дискретного вычисления интеграла свертки на языке С в реальном времени.
#define L (4) //длинна фильтра
int FIR(int a)
{
static int i=0; //текущая позиция
static int reg[L]; //массив входных значений
static const int h[L]={1,1,1,1};//импульсная характеристика
int b=0;//выходное значение
reg[i]=a; //копируем входное значение в массив входных значений
for(int j=0;j Вызывая данную функцию через определенные интервалы времени T и передавая ей в качестве аргумента входной сигнал, на выходе мы получим выходной сигнал, соответствующий реакции фильтра с импульсной характеристикой вида: H(t)=1 при 0 Всем собравшимся фильтр с такой импульсной характеристикой более известен под названием «фильтр скользящего среднего», и, соответственно, реализуется он гораздо проще. В данном случае такая импульсная характеристика используется для примера. Синтезу импульсных характеристик КИХ фильтров посвящена масса литературы, также имеются готовые программные продукты для получения фильтров с заданными свойствами. Автор предпочитает глючный инструмент Filter Design из пакета Matlab, но это дело вкуса. Используя фильтр с конечной импульсной характеристикой, удается немножечко воспарить над привычной реальностью, так как, в природе не существует динамических систем, имеющих конечную импульсную характеристику. Фильтр КИХ - попытка зайти в частотно-временную область с другого конца, не так как ходит природа, поэтому частотные характеристики этих фильтров зачастую обладают неожиданными свойствами. Намного ближе к природе фильтры с бесконечной импульсной характеристикой. Алгоритмическая сущность фильтров с бесконечной импульсной характеристикой сводится к рекуррентному (не путать с рекурсивным!) решению дифференциального уравнения, описывающего фильтр. То есть, каждое последующие значение выходного сигнала фильтра вычисляется на основании предыдущего значения. Именно так протекают процессы в реальном мире. Камень, падая с небоскреба каждую секунду, увеличивает свою скорость на 9.8м/с Speed=Speed+9.8, и пройденный путь каждую секунду увеличивается Distance=Distance+Speed. Кто скажет, что это не рекуррентный алгоритм, пусть первый бросит в меня камень. Только в нашей Матрице
временной интервал вызова функции возвращающей положение камня много меньше цены деления доступных нам средств измерения. Отдельно хотелось бы определить понятие «порядок фильтра». Это количество переменных которые подвергаются рекуррентным операциям. В приведенном примере функция, возвращающая скорость камня - первого порядка, функция, возвращающая пройденный путь - второго порядка. Для окончательного просветления читателя приведем пример на языке С самого простого фильтра низких частот, широко известного как фильтр «фильтр экспоненциального сглаживания» #define alfa (2) //параметр сглаживания
int filter(int a)
{
static int out_alfa=0;
out_alfa=out_alfa - (out_alfa >>alfa) + a;
return (out_alfa >> alfa);
}
Вызывая данную функцию с частотой F и передавая ей в качестве аргумента входной сигнал, на выходе мы получим выходной сигнал, соответствующий реакции фильтра низких частот первого порядка с частотой среза: Приведенный пример исходного кода совершенно неудобоварим с точки зрения понимания сути алгоритма. С точки зрения рекуррентной сути (смотри «падение камня») алгоритма, правильнее y=y+((x-y)>>alfa);, но в этом случае происходит потеря alfa значащих разрядов. Рекуррентное выражение фильтра, из примера кода, построено таким образом, чтобы избежать потери значащих разрядов. Именно конечная точность вычислений может испортить всю прелесть цифрового фильтра с бесконечной импульсной характеристикой. Особенно это заметно на фильтрах высоких порядков, отличающихся высокой добротностью. В реальных динамических системах такая проблема не возникает, наша Матрица
производит вычисления с невероятной для нас точностью. Синтезу подобных фильтров посвящена масса литературы, также имеются готовые программные продукты (см. выше). Часть вторая. Фурье – фильтр
Из вузовских курсов (у вашего покорного слуги это был курс ОТЭЦ) многие собравшие помнят два основных подхода к анализу линейных динамических систем: анализ во временной области и анализ в частотной области. Анализ во временной области - это решение дифференциальных уравнений, интегралы свертки и Дюамеля. Эти методы анализа дискретно воплотились в цифровых фильтрах БИХ и КИХ. Но существует частотный подход к анализу линейных динамических систем. Иногда его называют операторным. В качестве операторов используются преобразование Фурье, Лапласа и т.п. Далее мы будем говорить только о преобразовании Фурье. Данный метод анализа не получил широкого распространения при построении цифровых фильтров. Автору не удалось найти вменяемых практических рекомендаций по построению подобных фильтров на русском языке. Единственное краткое упоминание такого фильтра в практической литературе [Рабинер Л., Гоулд Б., Теория и применение цифровой обработки сигналов 1978], но в данной книге рассмотрение подобного фильтра очень поверхностно. В указанной книге данная схема построения фильтра называется: «свертка в реальном времени методом БПФ», что, по моему скромному мнению, совершенно не отражает сути, название должно быть коротким, иначе времени на отдых не останется. Реакция линейной динамической системы есть обратное преобразование Фурье от произведения изображения по Фурье входного сигнала x(t) на комплексный коэффициент передачи K(f): В практическом плане, данное аналитическое выражение предполагает следующий порядок действий: берем преобразование Фурье от входного сигнала, умножаем результат на комплексный коэффициент передачи, выполняем обратное преобразование Фурье, результатом которого является выходной сигнал. В реальном дискретном времени такой порядок действий выполнить невозможно. Как брать интеграл по времени от минус до плюс бесконечности?! Его можно взять только находясь вне времени… В дискретном мире для выполнения преобразования Фурье существует инструмент - алгоритм быстрого преобразования Фурье (БПФ). Именно его мы и будем использовать при реализации нашего Фурье-фильтра. Аргументом функции БПФ является массив временных отсчетов из 2^n элементов, результатом два массива длинной 2^n элементов соответствующие действительной и мнимой части преобразования Фурье. Дискретной особенностью алгоритма БПФ является то, что входной сигнал считается периодичным с интервалом 2^n. Это накладывает некоторые ограничения на алгоритм Фурье-фильтра. Если взять последовательность выборок входного сигнала, провести от них БПФ, умножить результат БПФ на комплексный коэффициент передачи фильтра и выполнить обратное преобразование …ничего получится!
Выходной сигнал будет иметь огромные нелинейные искажения в окрестности стыков выборок. Для решения этой проблемы необходимо применить два приема: Такие функции широко применяются в технике цифровой обработки сигналов, и называть их принято - окнами. По скромному мнению автора лучшим, с практической точки зрения, является окно имени Хана: На рисунке приведены графики иллюстрирующие свойства окна Хана длинной 2^n=256. Экземпляры окна построены с половинным перекрытием k=128. Как видно все оговоренные выше свойства имеются в наличии. По просьбам трудящихся, на следующем рисунке приведена схема вычислений Фурье-фильтра, при длине выборки 2^n=8, количество выборок 3. На подобных рисунках очень сложно отобразить процесс вычислений, особенно тяжело показать его цикличность, поэтому мы и ограничились количеством выборок равным трем. Входной сигнал разбивается на блоки длинной 2^n=8 с перекрытием 50%, от каждого блока берется БПФ, результаты БПФ подвергаются нужной трансформации, берется обратное БПФ, результат обратного БПФ скалярно умножается на окно, после умножения блоки складываются с перекрытием. При выполнение трансформаций спектра, не стоит забывать о главном свойстве массива БПФ действительных сигналов, первая половина массива БПФ комплексно сопряжена со второй половиной, т.е Re[i]=Re[(1< Теперь мы знаем все, что необходимо для написания алгоритма Фурье-фильтра. Опишем алгоритм на языке С. #include Вызывая функцию FureFilter() с частотой FSempl и передавая ей в качестве аргумента входной сигнал, результатом получим выходной сигнал. В данном примере входной сигнал обрабатывается следующим образом: сигнал пропускается через полосовой фильтр с частотами среза FsrLow, FsrHi, подавляются все спектральные составляющие выше и ниже указанных частот, сдвигается спектр сигнала (для звуковых сигналов это воспринимается как эффект Буратино-Карабаса), амплитудный спектр сигнала подвергается сглаживанию фильтром низких частот (для звука это эффект гулкого помещения). Данные действия с сигналом выполнены в качестве примера, для того чтобы показать технические приемы обработки сигнала в частотной области, такие как: соблюдение комплексно-сопряженности коэффициентов, восстановление комплексного спектра по амплитудному, не используя тригонометрических функций и т.п. Заключение
Стоит отметить, что, скорее всего, данная функция Фурье-фильтра, на практике окажется неработоспособна. При вызове данной функции даже с невысокой частотой 8000Гц, она не успеет выполнится к моменту следующего вызова, не хватить быстродействия. Данный программный код Фурье-фильтра приведен в качестве описания алгоритма, без привязки к конкретным аппаратным ресурсам, и имеет чисто образовательные цели
(см. Введение). При практической реализации следует распараллелить выполнение функции заполнения-опорожнения буфера BufInOut (лучше сразу ПДП и т. п.) и функции обработки буфера ObrBuf(), но это уже совсем другая история. Чтобы проверить, правильно ли работает программа, сформируем массив отсчетов как сумму двух синусоид sin(10*2*pi*x)+0,5*sin(5*2*pi*x) и подсунем программке. Программа нарисовала следующее: рис.1 График временной функции сигнала
На графике спектра имеется две палки (гармоники) 5 Гц с амплитудой 0.5 В и 10 Гц - с амплитудой 1 В, все как в формуле исходного сигнала. Все отлично, программист молодец! Программа работает правильно. Это значит, что если мы подадим на вход АЦП реальный сигнал из смеси двух синусоид, то мы получим аналогичный спектр, состоящий из двух гармоник. Итого, наш реальный
измеренный сигнал, длительностью 5 сек
, оцифрованный АЦП, то есть представленный дискретными
отсчетами, имеет дискретный непериодический
спектр. Что-то как бы не то! Гармоника 10 Гц рисуется нормально, а вместо палки на 5 Гц появилось несколько каких-то непонятных гармоник. Смотрим в интернетах, что да как… Во, говорят, что в конец выборки надо добавить нули и спектр будет рисоваться нормальный. Все равно не то, что было на 5 секундах. Придется разбираться с теорией. Идем в Википедию
- источник знаний. K - номер тригонометрической функции (номер гармонической составляющей, номер гармоники) Что значит «представить функцию в виде суммы ряда»? Это значит, что, сложив в каждой точке значения гармонических составляющих ряда Фурье, мы получим значение нашей функции в этой точке.
(Более строго, среднеквадратичное отклонение ряда от функции f(x) будет стремиться к нулю, но несмотря на среднеквадратичную сходимость, ряд Фурье функции, вообще говоря, не обязан сходиться к ней поточечно. См. https://ru.wikipedia.org/wiki/Ряд_Фурье .) Этот ряд может быть также записан в виде: Связь между коэффициентами (1) и (3) выражается следующими формулами: Отметим, что все эти три представления ряда Фурье совершенно равнозначны. Иногда при работе с рядами Фурье бывает удобнее использовать вместо синусов и косинусов экспоненты мнимого аргумента, то есть использовать преобразование Фурье в комплексной форме. Но нам удобно использовать формулу (1), где ряд Фурье представлен в виде суммы косинусоид с соответствующими амплитудами и фазами. В любом случае неправильно говорить, что результатом преобразования Фурье действительного сигнала будут комплексные амплитуды гармоник. Как правильно говорится в Вики «Преобразование Фурье (ℱ) - операция, сопоставляющая одной функции вещественной переменной другую функцию, также вещественной переменной.» Итого:
Преобразование Фурье позволяет представить непрерывную функцию f(x) (сигнал), определенную на отрезке {0, T} в виде суммы бесконечного числа (бесконечного ряда) тригонометрических функций (синусоид и\или косинусоид) с определёнными амплитудами и фазами, также рассматриваемых на отрезке {0, T}. Такой ряд называется рядом Фурье.
Отметим еще некоторые моменты, понимание которых требуется для правильного применения преобразования Фурье к анализу сигналов. Если рассмотреть ряд Фурье (сумму синусоид) на всей оси Х, то можно увидеть, что вне отрезка {0, T} функция представленная рядом Фурье будет будет периодически повторять нашу функцию. Например, на графике рис.7 исходная функция определена на отрезке {-T\2, +T\2}, а ряд Фурье представляет периодическую функцию, определенную на всей оси х. Это происходит потому, что синусоиды сами являются периодическими функциями, соответственно и их сумма будет периодической функцией. Таким образом: Наша исходная функция - непрерывная, непериодическая, определена на некотором отрезке длиной T. Периоды гармонических составляющих кратны величине отрезка {0, T}, на котором определена исходная функция f(x). Другими словами, периоды гармоник кратны длительности измерения сигнала. Например, период первой гармоники ряда Фурье равен интервалу Т, на котором определена функция f(x). Период второй гармоники ряда Фурье равен интервалу Т/2. И так далее (см. рис. 8). Соответственно, частоты гармонических составляющих кратны величине 1/Т. То есть частоты гармонических составляющих Fk равны Fk= к\Т, где к пробегает значения от 0 до ∞, например к=0 F0=0; к=1 F1=1\T; к=2 F2=2\T; к=3 F3=3\T;… Fk= к\Т (при нулевой частоте - постоянная составляющая). Пусть наша исходная функция, представляет собой сигнал, записанный в течение Т=1 сек. Тогда период первой гармоники будет равен длительности нашего сигнала Т1=Т=1 сек и частота гармоники равна 1 Гц. Период второй гармоники будет равен длительности сигнала, деленной на 2 (Т2=Т/2=0,5 сек) и частота равна 2 Гц. Для третьей гармоники Т3=Т/3 сек и частота равна 3 Гц. И так далее. Шаг между гармониками в этом случае равен 1 Гц. Таким образом сигнал длительностью 1 сек можно разложить на гармонические составляющие (получить спектр) с разрешением по частоте 1 Гц. Существует способ искусственного увеличения длительности сигнала путем добавления нулей к массиву отсчетов. Но реальную разрешающую способность по частоте он не увеличивает. Обычная схема измерения и оцифровки сигнала выглядит следующим образом. Сигнал с измерительного преобразователя поступает на АЦП в течение периода времени Т. Полученные за время Т отсчеты сигнала (выборка) передаются в компьютер и сохраняются в памяти. Какие требования выдвигаются к параметрам оцифровки сигнала? Устройство, преобразующее входной аналоговый сигнал в дискретный код (цифровой сигнал) называется аналого-цифровой преобразователь (АЦП, англ. Analog-to-digital converter, ADC) (Wiki). Одним из основных параметров АЦП является максимальная частота дискретизации (или частота семплирования, англ. sample rate) - частота взятия отсчетов непрерывного во времени сигнала при его дискретизации. Измеряется в герцах. ((Wiki)) Согласно теореме Котельникова, если непрерывный сигнал имеет спектр, ограниченный частотой Fмакс, то он может быть полностью и однозначно восстановлен по его дискретным отсчетам, взятым через интервалы времени А что будет, если мы будем брать отсчеты с меньшей частотой, чем требуется по теореме Котельникова? В этом случае возникает эффект «алиасинга» (он же стробоскопический эффект, муаровый эффект), при котором сигнал высокой частоты после оцифровки превращается в сигнал низкой частоты, которого на самом деле не существует. На рис. 11 красная синусоида высокой частоты - это реальный сигнал. Синяя синусоида более низкой частоты - фиктивный сигнал, возникающий вследствие того, за время взятия отсчета успевает пройти больше, чем пол-периода высокочастотного сигнала. Чтобы избежать эффекта алиасинга перед АЦП ставят специальный антиалиасинговый фильтр - ФНЧ (фильтр нижних частот), который пропускает частоты ниже половины частоты дискретизации АЦП, а более высокие частоты зарезает. Для того, чтобы вычислить спектр сигнала по его дискретным отсчетам используется дискретное преобразование Фурье (ДПФ). Отметим еще раз, что спектр дискретного сигнала «по определению» ограничен частотой Fмакс, меньшей половине частоты дискретизации Fd. Поэтому спектр дискретного сигнала может быть представлен суммой конечного числа гармоник, в отличие от бесконечной суммы для ряда Фурье непрерывного сигнала, спектр которого может быть неограничен. Согласно теореме Котельникова максимальная частота гармоники должна быть такой, чтобы на нее приходилось как минимум два отсчета, поэтому число гармоник равно половине числа отсчетов дискретного сигнала. То есть если в выборке имется N отсчетов, то число гармоник в спектре будет равно N/2. Рассмотрим теперь дискретное преобразование Фурье (ДПФ). Сравнивая с рядом Фурье Видим, что они совпадают, за исключением того, что время в ДПФ имеет дискретный характер и число гармоник ограничено величиной N/2 - половиной числа отсчетов. Формулы ДПФ записываются в безразмерных целых переменных k, s, где k – номера отсчетов сигнала, s – номера спектральных составляющих. Возвращаясь к результатам, полученным в начале. Как уже было сказано выше, при разложении в ряд Фурье непериодической функции (нашего сигнала), полученный ряд Фурье фактически соответствует периодической функции с периодом Т. (рис.12). Как видно на рис.12 функция f(x) периодическая с периодом Т0. Однако из-за того, что длительность измерительной выборки Т не совпадает с периодом функции Т0, функция, получаемая как ряд Фурье, имеет разрыв в точке Т. В результате спектр данной функции будет содержать большое количество высокочастотных гармоник. Если бы длительность измерительной выборки Т совпадала с периодом функции Т0, то в полученном после преобразования Фурье спектре присутствовала бы только первая гармоника (синусоида с периодом равным длительности выборки), поскольку функция f(x) представляет собой синусоиду. Другими словами, программа ДПФ «не знает», что наш сигнал представляет собой «кусок синусоиды», а пытается представить в виде ряда периодическую функцию, которая имеет разрыв из-за нестыковки отдельных кусков синусоиды. В результате в спектре появляются гармоники, которые должны в сумме изобразить форму функции, включая этот разрыв. Таким образом, чтобы получить «правильный» спектр сигнала, являющегося суммой нескольких синусоид с разными периодами, необходимо чтобы на периоде измерения сигнала укладывалось целое число периодов каждой синусоиды. На практике это условие можно выполнить при достаточно большой длительности измерения сигнала. При меньшей длительности картина будет выглядеть «хуже»: На практике бывает сложно понять, где «реальные составляющие», а где «артефакты», вызванные некратностью периодов составляющих и длительности выборки сигнала или «скачками и разрывами» формы сигнала. Конечно слова «реальные составляющие» и «артефакты» не зря взяты в кавычки. Наличие на графике спектра множества гармоник не означает, что наш сигнал в реальности из них «состоит». Это все равно что считать, будто число 7 «состоит» из чисел 3 и 4. Число 7 можно представить в виде суммы чисел 3 и 4 - это правильно. Так и наш сигнал… а вернее даже не «наш сигнал», а периодическую функцию, составленную путем повторения нашего сигнала (выборки) можно представить в виде суммы гармоник (синусоид) с определенными амплитудами и фазами. Но во многих важных для практики случаях (см. рисунки выше) действительно можно связать полученные в спектре гармоники и с реальными процессами, имеющими циклический характер и вносящими значительный вклад в форму сигнала. 2. Сигнал представлен набором действительных значений и его спектр представлен набором действительных значений. Частоты гармоник положительны. То, что математикам бывает удобнее представить спектр в комплексной форме с использованием отрицательных частот не значит, что «так правильно» и «так всегда надо делать». 3. Сигнал, измеренный на отрезке времени Т определен только на отрезке времени Т. Что было до того, как мы начали измерять сигнал, и что будет после того - науке это неизвестно. И в нашем случае - неинтересно. ДПФ ограниченного во времени сигнала дает его «настоящий» спектр, в том смысле, что при определенных условиях позволяет вычислить амплитуду и частоту его составляющих. Использованные материалы и другие полезные материалы. Все сигналы, независимо от того, вы их придумали или наблюдали во Вселенной, на самом деле просто сумма простых синусоид различных частот.
Я сделал небольшой аудио анализатор спектра (0 - 10 кГц) из ЖК-дисплея 16x2 и микроконтроллера ATmega32. Я начал с простых ДПФ (Дискретное Преобразование Фурье). БПФ (Быстрое Преобразование Фурье) отличается от ДПФ только большей скоростью и немного более сложным алгоритмом, я не стал его использовать, возможно я добавлю его позже. ДПФ медленный по сравнению с БПФ. Мой ЖК анализатор спектра не требует большой скорости, которую может обеспечить БПФ, и если изображение на экране будет меняться с частотой около 30 кадров / сек, то это более чем достаточно для визуализации звукового спектра. Но я итак могу достичь частоты около 100 кадров / сек, однако для ЖК-дисплея не рекомендуется слишком высокая частота обновления. Звук с частотой дискретизации 20 кГц даёт 32 точки ДПФ. Поскольку результат преобразования симметричен, мне нужно использовать только первые 16 результатов. Соответственно максимальная частота 10 кГц. Таким образом, 10кГц/16 = 625Гц. Я пытался увеличить скорость вычисления ДПФ. Если есть точка N ДПФ, то необходимо найти синус и косинус (N ^ 2) / 2. Для 32-точечного ДПФ, необходимо найти синус и косинус 512. Прежде чем искать синус и косинус, нам нужно найти угол (градусы), который занимает некоторое время процессора. Для этого я сделал таблицы для синуса и косинуса. Я сделал синус и косинус 16-битными переменными, умножив значения синуса и косинуса на 10000. После преобразования я должен разделить каждый результат на 10000. Теперь я могу рассчитать 120 32-точечных ДПФ в секунду, что более чем достаточно для анализатора спектра. Я использовал пользовательские символы для ЖК-дисплея загруженные в 64 Байт встроенной памяти ЖК-дисплея. В интернете я увидел видео, где ЖК-дисплей 16х2 используется в качестве дисплея анализатора спектра и использовал эту идею. Одной из наиболее важных частей анализатора спектра является получение сигнала с электретного микрофона. Особое внимание должно быть уделено разработке предварительного усилителя для микрофона. Нам нужно установить нулевой уровень на входе АЦП и максимальный уровень равный половине напряжения питания, т.е. 2,5В. На него может подаваться напряжение от -2,5В до +2,5В. Предусилитель должен быть настроен так, чтобы не превышать этих границ. Я использовал операционный усилитель LM324 в качестве предварительного усилителя для микрофона. ATmega32
100 Ом
LM324
220 кОм
10 кОм
1 кОм
В качестве устройства отображения используется двухстрочный символьный ЖК индикатор. Основным моментом при реализации данного проекта является не аппаратная часть, а программная, точнее реализация дискретного преобразования Фурье (ДПФ) на 8-разрядном микроконтроллере. Сразу следует отметить, что автор не является экспертом в этой области и поэтому начал с основ - с простого дискретного преобразования Фурье. Алгоритм быстрого преобразования Фурье является не только быстрым, но и достаточно сложным. Дискретное преобразование Фурье (в англоязычной литературе DFT, Discrete Fourier Transform) - это одно из преобразований Фурье, широко применяемых в алгоритмах цифровой обработки сигналов (его модификации применяются в сжатии звука в MP3, сжатии изображений в JPEG и др.), а также в других областях, связанных с анализом частот в дискретном (к примеру, оцифрованном аналоговом) сигнале. Дискретное преобразование Фурье требует в качестве входа дискретную функцию. Такие функции часто создаются путем дискретизации (выборки значений из непрерывных функций). Принципиальная схема анализатора спектра звукового сигнала очень проста и условно ее можно разделить на цифровую часть и аналоговую. Цифровая часть образована микроконтроллером и подключенным к нему ЖК индикатором. Микроконтроллер тактируется от кварцевого резонатора 16 МГц, в качестве опорного напряжения для АЦП микроконтроллера используется напряжение питания +5 В. Микроконтроллер работает от внешнего кварцевого резонатора 16 МГц. Аналоговая часть устройства - это самая важная часть и представляет собой предварительный усилитель сигнала электретного микрофона, выход которого подключается к каналу ADC0 встроенного в микроконтроллер АЦП. Уровень нуля на входе АЦП нам необходимо установить равным точно половине опорного напряжения, т.е. 2.5 В. В этом случае мы сможем использовать положительную и отрицательную полуволну сигнала, но его амплитуда не должна превышать установленный предел, т.е. коэффициент усиления должен быть точно настроен для предотвращения перегрузки. Всем вышеуказанным условиям отвечает распространенная микросхема низкопотребляющего операционного усилителя . Алгоритм ДПФ несколько медленнее в сравнении с быстрым преобразованием Фурье. Но наш анализатор спектра не требует высокой скорости, и если он способен обеспечить скорость обновления около 30 кадров в секунду, этого будет более чем достаточно для визуализации спектра звукового сигнала. В любом случае, в нашем варианте возможно достичь скорости 100 кадров в секунду, но это уже слишком высокое значение параметра для двухстрочного символьного ЖК индикатора и оно не рекомендуется. Частота дискретизации равна 20 кГц для 32 точечного дискретного преобразования Фурье и поскольку результат преобразования симметричен, нам нужно использовать только первую половину, т.е. первые 16 результатов. Следовательно, мы можем отображать частотный спектр в диапазоне до 10 кГц и разрешение анализатора составляет 10 кГц/16 = 625 Гц. Автором конструкции были предприняты попытки увеличения скорости вычисления ДПФ. Если это преобразование имеет N точек, то мы должны найти N2/2 значений синуса и косинуса. Для нашего 32 точечного преобразования необходимо найти 512 значений синуса и косинуса. Но, прежде чем найти их нам необходимо вычислить угол (градусы), что займет некторое процессорное время, поэтому было решено использовать для этих вычислений таблицы значений. При расчетах в программе микроконтроллера не используются вычисления с плавающей точкой и числа двойной точности (double), так как это займет больше времени на обработку на 8-разрядном микроконтроллере. Вместо этого значения в таблицах поиска используются 16-разрядные данные целочисленного типа (integer), умноженные на 10000. Затем после выполнения преобразования результаты делятся на 10000. При таком подходе имеется возможность выполнять 120 32-точечных преобразований в секунду, что более чем достаточно для нашего устройства. Демонстрация работы анализатора спектра на микроконтроллере ATmega32
Загрузки
Исходный код (программа микроконтроллера, таблицы данных синуса, косинуса и угла) - 
рис.2 График спектра сигнала
С математической точки зрения - сколько ошибок в этой фразе?
Теперь начальство решило мы решили, что 5 секунд - это слишком долго, давай измерять сигнал за 0.5 сек.
рис.3 График функции sin(10*2*pi*x)+0,5*sin(5*2*pi*x) на периоде измерения 0.5 сек
рис.4 Спектр функции
рис.5 Добили нулей до 5 сек
рис.6 Получили спектр
2. Непрерывная функция и представление её рядом Фурье
Математически наш сигнал длительностью T секунд является некоторой функцией f(x), заданной на отрезке {0, T} (X в данном случае - время). Такую функцию всегда можно представить в виде суммы гармонических функций (синусоид или косинусоид) вида:
(1), где:
T - отрезок, где функция определена (длительность сигнала)
Ak - амплитуда k-ой гармонической составляющей,
θk- начальная фаза k-ой гармонической составляющей
(2),
где , k-я комплексная амплитуда.
Математической основой спектрального анализа сигналов является преобразование Фурье.
рис.7 Представление непериодической исходной функции рядом Фурье
Спектр этой функции - дискретный, то есть представлен в виде бесконечного ряда гармонических составляющих - ряда Фурье.
По факту, рядом Фурье определяется некоторая периодическая функция, совпадающая с нашей на отрезке {0, T}, но для нас эта периодичность не существенна.
рис.8 Периоды (частоты) гармонических составляющих ряда Фурье (здесь Т=2π)
Чтобы увеличить разрешение в 2 раза до 0,5 Гц - надо увеличить длительность измерения в 2 раза - до 2 сек. Сигнал длительностью 10 сек можно разложить на гармонические составляющие (получить спектр) с разрешением по частоте 0,1 Гц. Других способов увеличить разрешение по частоте нет.3. Дискретные сигналы и дискретное преобразование Фурье
С развитием цифровой техники изменились и способы хранения данных измерений (сигналов). Если раньше сигнал мог записываться на магнитофон и храниться на ленте в аналоговом виде, то сейчас сигналы оцифровываются и хранятся в файлах в памяти компьютера в виде набора чисел (отсчетов).
рис.9 Схема измерительного канала
рис.10 Оцифрованный сигнал - N отсчетов полученных за время Т
, т.е. с частотой Fd ≥ 2*Fмакс, где Fd - частота дискретизации; Fмакс - максимальная частота спектра сигнала. Другими слова частота оцифровки сигнала (частота дискретизации АЦП) должна как минимум в 2 раза превышать максимальную частоту сигнала, который мы хотим измерить.
Рис. 11. Появление ложного сигнала низкой частоты при недостаточно высокой частоте дискретизации
Величина s показывает количество полных колебаний гармоники на периоде Т (длительности измерения сигнала). Дискретное преобразование Фурье используется для нахождения амплитуд и фаз гармоник численным методом, т.е. «на компьютере»
рис.12 Периодическая функция f(x) с периодом Т0, с периодом измерения Т>T0
Рис.13 Пример функции и спектра сигнала кинематической погрешности редуктора
Рис.14 Пример функции и спектра сигнала вибрации ротора
Некоторые итоги
1. Реальный измеренный сигнал, длительностью T сек, оцифрованный АЦП, то есть представленный набором дискретных отсчетов (N штук), имеет дискретный непериодический спектр, представленный набором гармоник (N/2 штук).Дисплей
Аудио вход
Список радиоэлементов
Обозначение
Тип
Номинал
Количество
Примечание
Магазин
Мой блокнот
Дисплей
МК AVR 8-бит
1
В блокнот
Конденсатор
22 пФ
2
В блокнот
Конденсатор
0.1 мкФ
1
В блокнот
Электролитический конденсатор
100 мкФ
1
В блокнот
Резистор
1
В блокнот
Подстроечный резистор
4.7 кОм
1
В блокнот
Кварцевый резонатор
16 МГц
1
В блокнот
LCD-дисплей
16х2
1
В блокнот
Блок питания
5 В
1
В блокнот
Аудио вход
U1
Операционный усилитель
1
В блокнот
С1
Конденсатор
1 мкФ
1
В блокнот
С8
Конденсатор
0.01 мкФ
1
В блокнот
R1
Резистор
1
В блокнот
R2, R3
Резистор
2
В блокнот
R4, R9
Резистор
2
В блокнот
R5
Резистор
Шина данных ЖК индикатора подключена к порту C микроконтроллера (линии ввода/вывода PC0-PC3), шина управления подключена к порту D(PD5, PD6) микроконтроллера. Индикатор работает в 4-битном режиме. Переменный резистор номиналом 4.7 кОм используется для регулировки контрастности. Для работы с индикатором были созданы пользовательские символы для отображения 8 горизонтальных столбиков анализатора, эти пользовательские символы занимают все 64 Байта ОЗУ ЖК индикатора.
